Patients put their lives in doctors' hands. Therefore, I would like doctors to treat them sincerely.
"Patients put their lives in doctors' hands."=「患者は医者たちの手に自分たちの命を預ける」
この"put someone's lives in someone's hands"という言い方は「誰々に誰かの命を任す・預ける」という意味です。
"Therefore, I would like doctors to treat them sincerely."=「したがって、私は医者たちが誠意を持って患者の治療をしてほしい」
"pass their lives"--> 「命を渡す」と訳せるかもしれませんが、「命を預ける」という意味には英語ではなりません。(物理的に命を渡す、という意味のように解釈されるかもしれません)
"with honest" --> "with honesty"になりますが、"honesty"は「正直さ」という意味が強いので、この文脈には適していないと思います。