今は子供の世話と英語の勉強でいいっぱいいっぱいですって英語でなんて言うの？

何かに誘われた場合等に、何かに急がし過ぎた場合、「〜でいいっぱいいっぱいです」と言いたいならこのようは自然です。

I'm just too overwhelmed by ○○.
I'm just too caught up with ○○.
I just don't have enough time, due to ○○.

多分、「I just don't have enough time for ○○」と伝えたらいいと思います。「○○のための時間がない」という意味です。

例文：今は子供の世話と英語の勉強でいいっぱいいっぱいです。
I'm just too overwhelmed by taking care of my kids and my English lessons, that I feel I just don't have time to take piano lessons.

I'm just too caught up with taking care of my kids that I feel I don't have time for piano lessons.

I just don't have enough time to take piano lessons, with taking care of my children and taking English lessons.

上記の例文に「I feel I~」を入れたら、もうちょっと和らげるように断ります。

英語頑張りましょう：）

I have my hands full between raising my child(ren) and studying English = 子供を育てるのと英語を勉強するので手がいっぱいです

I'm busy juggling child rearing and English studies = 子育てと英語の勉強の二つに追われている

Juggle = ジャグリング、次々と物を宙に投げて受け取る芸
Child rearing =子育て