日本語の「～に追われていて」が英語で「very busy with」と言います。
例文 (Example sentences)：
家のことと、子育て、仕事（家で子どもに勉強を教える仕事）、勉強(大学の課題と英語の勉強)に追われていて、お礼のメールが遅くなり申し訳ありません。 ー I am so sorry my thank you email is late, I’ve been very busy with my house, parenting, work (teaching my children at home), and study (college assignments and English study).
参考になれば嬉しいです。
My apologies for the delay in sending you a thank you note. I was busy with various things - house chores, child-raising, teaching at home, assignments, and learning English.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『家のことと、子育て、仕事（家で子どもに勉強を教える仕事）、勉強(大学の課題と英語の勉強)に追われていて、お礼のメールが遅くなり申し訳ありません。』は、
My apologies for the delay in sending you a thank you note. I was busy with various things - house chores, child-raising, teaching at home, assignments, and learning English. とできます。
相手や話の背景にも寄りますが、
My apologies や I apologize～ とすると
『お詫び申し上げます』や『謝罪する』
というかしこまった言い方もできるかもしれませんね！
～に追われては、以下のような表現もあります。
swamped with work 仕事に追われる
crunched for time 時間に追われる
参考にしていただければ幸いです。
オーストラリア 
日本 
