コンタクトレンズをはずしてから寝ないと、目が悪くなりますよ。って英語でなんて言うの？

Take out/off your contacts before going to bed.
（寝る前にコンタクトを外しなさい。）

コンタクトを外す時の「外す」は take off や take out が使えます。remove も「取り外す」という意味があって使えるのですが、カジュアルな日常会話では take off/out の方が自然でしょう。

コンタクトレンズは contact lenses ですが、日本語同様、日常会話では contacts と略します。

Otherwise your eyesight will get worse.
（さもなければ視力がもっと悪くなる。）

otherwise は「さもなければ、もしそうでなければ」という表現で、この文脈ではあってもなくてもいいです。
your eyesight will go bad （視力が悪くなる）という言ってもいいのですが、コンタクトをしているならすでに視力が悪いはずなので上記のように get worse（悪化する）という表現もできます。

It's bad for your eyes to sleep with your contacts on＝コンタクトをしたまま寝るのは目に悪いよ

You'll damage your eyes if you sleep in your contacts＝コンタクトをしたまま寝ると目を傷つけちゃうよ

余談かもしれませんが、アメリカには最大１ヶ月つけっぱなしでも大丈夫なExtended Wear Contacts（＝長期着用コンタクト）コンタクトレンズがあります。アメリカから遊びに来てた同級生にコンタクトをつけたまま寝てる、と言われて

Oh my god! Your eyes will rot!＝やだ！目が腐っちゃうよ！

と反応したところ、こう言った商品がある事を初めて知りました。ずっとつけっぱなしだなんて、想像出来ないですよね！ひえ～