ーMy hands are so cold, they are numb. I can't even write.
「手が寒さでかじかんで字が書けない。」
My hands are so cold, they are numb. で「寒さで手がかじかむ」と言えます。
ーMy hands are frozen stiff from the cold. I can't write a thing.
「手が寒さでかじかんで字が書けない。」
My hands are frozen stiff from the cold. でも「寒さで手がかじかむ」と言えます。
ご参考まで！
「手がかじかむ」を英語にすると"My hands are numb"になります。「かじかむ」の直訳は「numb」で、通常は感覚が鈍くなる、特に寒さによる感覚喪失を指します。寒さで手がかじかんで字が書けないという状況を表すとしたら、"I can't write because my hands are numb from the cold."（寒さで手がかじかみ、字が書けない）といった表現ができます。
カナダ 
アメリカ合衆国 
