「敬語」は honorific という単語がありますが、下のように言う方が自然かなと思います。
ーNo need to speak such formal Japanese with me.
「私にそんなに堅苦しく話す必要はないですよ。」
speak formal Japanese で「敬語で話す」と言えます。
formal の代わりに polite「礼儀正しい」を使っても良いです。
ーLet's talk more casually like old friends.
「古くからの友達のようにもっとカジュアルに話しましょう。」
逆に talk more casually「もっとカジュアルに・気軽に話す」を使って言うこともできますよ。
old friends で「古い友達・昔からの友達」
ご参考まで！
ご質問ありがとうございます。
「敬語で話さないでくださいね」は英語で「Please don't use keigo with me.」や「Please don't use such formal language with me.」と言います。
「敬語」は「formal language」となりますが、最近の外国人でも敬語はそのままで「keigo」とよく言われますので、そのままにしてもいいと思います。
例文：
Please don't use keigo with me. Let's talk casually.
どうぞ敬語で話さないでください。お互いタメ口にしよう。
ご参考になれば幸いです。
英会話講師のKOGACHIです(^^)/
おっしゃられている内容は、以下のようにも表現できると思いました(*^_^*)
You don't have to talk that formally to me.
「私にそんなにフォーマルに話さなくて良いです」
以上ですm(_)m
少しでも参考になれば幸いです(#^^#)
お困りの時は、いつでも気軽にご質問ください(^0^)/
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