父親の介護のために、会社を辞めざるをえない。再就職が心配だ。って英語でなんて言うの？

「世話をする」は look after や care for が自然です。

in order to ~ は「〜するために」という意味。やや固い言い方ですが、このような内容を話すには適しています。

2つの文章の組み合わせですが、例文3つの前後のどれを組み合わせても使えます。

英訳1：have to quit job「退職しなければならない」は、言いやすい表現ですね。

英訳2：be forced to ~ で「〜せざるを得ない」という意味になります。

英訳3：「選択の余地がない」という意味の no choice を使った表現もよく使います。have no choice but to ~ を続けて言うよう身につけておくといいでしょう。

～せざるを得ない = I can't help but ~, I feel compelled to ~ , I'm forced to ~, I have little/no choice but to ~