This client always makes a great fuss when our response regarding the delivery date is delayed.
ご質問ありがとうございます。
"This client always makes a great fuss"=「この顧客はいつも騒ぎ立てる」
"when our response regarding the delivery date"=「納期に関する回答が~だと」
"is delayed."=「遅れると。」
☆"make a fuss"とは口語ですが、"fuss"は名詞で「無用の大騒ぎ」という意味です。従って、「無用な大騒ぎをする」="make a fuss"になります。
ご参考に!