May I have a ~?
をもらえますか？
焼酎：shochu
緑茶：green tea
shochu and green tea：焼酎の緑茶割り(直訳: 焼酎と緑茶)
shochu mixed with green tea：焼酎の緑茶割り(直訳: 焼酎に緑茶を混ぜたもの)
May I have a shochu mixed with green tea?のほうが説明的な表現です。
ちなみに「ウィスキーの水割り」のことは
whisky and water
whisky mixed with water
水割りがwhiskey and water, ハイボールが whiskey and sodaですので、
shochu and green tea で良いかと思います。いくつかメニューも見てみましたが、これで大丈夫そうです。
May I は日本語だと「いただけますか？」ぐらいの丁寧な頼み方です。
What would you like ?
と聞かれたら
I'd like to have**
が答えになります。
日本 
