The stamp(ink) pad dried out. Could you refill it?
「印鑑の朱肉のつきが悪くなってきました。インクを補充してね」というのは、
The stamp(ink) pad dried out. Could you refill it?
となります。
朱肉 = stamp pad / ink pad
refill = 補充する (液体の場合でよく使われる)
「朱肉のつきが悪くなった」ということは「乾燥した」と同じことなので、
それを英語したらdry outとなります。