Rikako Ikee beat the odds and made a comeback from her illness
病気に負ける=to succumb to an illness
暗い表現で、病気との戦いが終わる、と言う意味ですね。
直訳的にto lose to an illnessになりますが、少し不自然です。
病気に勝ったと言うニュアンスを伝えたければ、beat the odds(逆境に打ち勝つ)と言う表現をよく使います。特に池江選手のような場合では。
ですので、
「池江選手が病気に負けずに復活した」は英語で
Rikako Ikee beat the odds and made a comeback from her illness
になります。
ご参考になれば幸いです。
「病気に負ける」は
to succumb to an illness
to lose a battle to a sickness/disease
のように言えます。
例:
She beat her illness, came back to health, and was able to compete again.
「彼女は病気に打ち勝ち、 健康を取り戻し、また競うことができた」
「病気に負ける」の反対で「病に打ち勝つ」ことを to beat one's illness のように表現できます。
to come back to health で「健康を取り戻す」
ご参考まで!