Rikako Ikee beat the odds and made a comeback from her illness
病気に負ける=to succumb to an illness
暗い表現で、病気との戦いが終わる、と言う意味ですね。
直訳的にto lose to an illnessになりますが、少し不自然です。
病気に勝ったと言うニュアンスを伝えたければ、beat the odds（逆境に打ち勝つ）と言う表現をよく使います。特に池江選手のような場合では。
ですので、
「池江選手が病気に負けずに復活した」は英語で
Rikako Ikee beat the odds and made a comeback from her illness
になります。
ご参考になれば幸いです。
「病気に負ける」は
to succumb to an illness
to lose a battle to a sickness/disease
のように言えます。
例：
She beat her illness, came back to health, and was able to compete again.
「彼女は病気に打ち勝ち、 健康を取り戻し、また競うことができた」
「病気に負ける」の反対で「病に打ち勝つ」ことを to beat one's illness のように表現できます。
to come back to health で「健康を取り戻す」
ご参考まで！
「病気に負ける」は日本語だと比喩で自然ですが、英語でも同じように “illness（病気）” を相手にして「負ける／倒される」を表現できます。直訳に近くて言いやすいのは lose to an illness（病気に負ける）です。
・be defeated by illness（病気に打ち負かされる）
・be overcome by illness（病気に圧倒される）
少し強めでドラマチックな言い方です。
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