I know you're very busy. I'm sorry for the sudden request and for such short notice.
「お忙しい中」を英語で言いたいときに、一番よく使われている表現は
I know you're very busy (直訳:大変忙しいとわかっています)
I'm sure you're busy (直訳:忙しいでしょう)
になります。during your busy timeは通じはしますが、言わない表現です。
I'm sorry for the sudden request and for such short notice (suchは「こんなに」みたいな意味で使われていますね)
「短い期限での依頼となりすみません」
short deadlineはなんとなく言わない表現ですね。short noticeで意味を理解できます。
sudden は「急な」なので、sudden request で「急な依頼」と言えます。
ご参考になれば幸いです。