It just happens to be the weapon I picked up first.
この場合、picked upは最後の方に来ます。
「一番最初に(A)した(B)」
は英語で
the first (B) that I (A)
あるいは
the (A) that I (B) first
の構成になります。
よって、「一番最初に拾った武器です。」は
①It's the first weapon I picked up.(picked upが一番最後)
あるいは
②It's the weapon I picked up first.(最後の方に来て、一番最後にfirstが来ます。)
となります。
基本どちらを使っても大丈夫ですが、①は単に「一番最初に拾った武器」であることを表し、②は「最初」であること、つまり順番を強調しています。