最初の言い方は、Medicine? I won’t ever drink it は、薬？絶対飲まないと言う意味として使われていました。
最初の言い方では、Medicine? は、薬？と言う意味として使われています。won’t は、will not の略語ですと言う意味として使われていました。ever drink it は、飲むと言う意味として使われています。
二つ目の言い方は、Medicine? I won’t ever try it は、薬？絶対飲まないと言う意味として使われています。
二つ目の言い方では、won’t ever try out は、絶対飲まないと言う意味として使われていました。
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次のように言うのはどうでしょう？
ーI won't take that medicine!
「絶対その薬飲まないからね！」
won't を強調して言うと、「絶対」というニュアンスになります。
ーYou can't make me take that medicine!
「あなたは私にその薬を飲ますことはできないよ！」＝「絶対飲まないよ」
to make someone 動詞の原形 で「人に…させる」
この場合は誰かに強制的に何かをさせるニュアンスです。
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
