「クッションカバー」は、英語でもそのまま cushion cover と言えます。
「クッションの中身」は、cushion insert と表現するのが一般的です。
insert は「挿入するもの」という意味で、クッションの「中身」を指すのに適切な単語です。
また、cushion filler や cushion pad と表現することもあります。
「どちらも丸洗いできたらうれしい」という気持ちは、
It would be great if both the cushion cover and the cushion insert were machine washable.
と表現するのが自然です。