I just do what I need to do without making complaints.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
素晴らしいです。
さて、『やるべきことを粛々とこなしていくだけです』は、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
I just do what I need to do without making complaints.
と言えます。
『粛々と』は、『強い意志で変更せずに行う』という意味も含む言葉ですので、without making complaints として、『文句を言わずに』という表現をしています。
参考になれば幸いです。
「やるべきことを粛々とこなしていくだけです」は、I just quietly do what I need to do. と表現できます。
quietly は「静かに」「黙々と」という意味で、質問者さんの「粛々と」というニュアンスをうまく伝えます。what I need to do は「私がやるべきこと」という意味です。
"It's nothing special. I just quietly do what I need to do every day."
（特別なことなんてありません。毎日やるべきことを黙々とこなしているだけです。）
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