I just do what I need to do without making complaints.
こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
素晴らしいです。
さて、『やるべきことを粛々とこなしていくだけです』は、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
I just do what I need to do without making complaints.
と言えます。
『粛々と』は、『強い意志で変更せずに行う』という意味も含む言葉ですので、without making complaints として、『文句を言わずに』という表現をしています。
参考になれば幸いです。