childish
子供っぽい
to tell your co-workers that it's your birthday
同僚に『今日は誕生日です』と言う
Telling my co-workers that it's my birthday is childish, so I don't mention that it's my birthday at work.
会社で自分の誕生日をアピールするなんて、子供っぽいから、自分の誕生日の話なんて会社でしない
日本語と英語の違いかわかりませんが、英語でこういう話で、childishよりembarrassing (恥ずかしい)やawkward (気まずい・違和感がある)の方がよく使われていますね。例えば、I don't tell my co-workers that it's my birthday because it's awkwardの方が自然に感じますね。
ご参考になれば幸いです!Happy birthday!