ご質問ありがとうございます。
↑のようなシチュエーションですと：
"The deeper the bond you establish with the people you meet, the more familiar that country becomes."
「関係」は"relationship"ですが、"bond"（繋がり）もこの文脈では使えます。
そして、"to have a deep relationship" の代わりに "to form a deep relationship"とも言えます。
ご参考に。
「付き合いが深い」はhave a deep relationship with ～「～と深い関係を持つ」と訳すことができると思います(*^_^*)
あとは、
おっしゃられている内容は、
The more you know about people you meet, the closer you feel to the country they are from.
「出会った人について知れば知るほど、彼らの国を身近に感じる」
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
アメリカ合衆国 
日本 
