こちらこそって英語でなんて言うの？

この場合、次のように言うと良いでしょう。
ーTHANK you.
「こちらこそありがとう」
Thank を強調して言う事で、「こちらこそありがとう」というニュアンスになります。

ーNO, thank you.
「いえいえ、こちらこそありがとう」
No をつける事で「いえいえ・とんでもない」というニュアンスになります。

ーThank you for teaching me.
「こちらこそ教えてくれてありがとう」
このように言っても良いです。

ご参考まで！

- "The pleasure is all mine."
「楽しさは全て私のものです」と直訳しますが、このフレーズは「こちらこそ、楽しい時間を過ごさせてもらってありがとうございます」というニュアンスを持っています。

• "No, thank you!"
  「いいえ、こちらこそありがとう！」という意味で、「こちらこそ」と返答するときに使われる一般的なフレーズです。

• "I should be the one thanking you."
  「こちらこそ感謝するべきだ。」という意味で、「こちらこそ」と返答するときに使われます。