大切なものが届くので宅配便業者には日曜でも配達お願いしたいと伝えてください。って英語でなんて言うの？

配達業者に日曜日も配達日に含めていただくようリクエストしていただけますかという意味になります。

できるだけ早く届けたいという表現は、
I want this to be delivered as soon as possible.
もしくは、
I want this to be delivered sooner the better.
等ということができます。

参考になれば幸いです。