蕁麻疹になりたくてなってるんじゃないんだよ！体質なんだよ。って英語でなんて言うの？

「Who does/一般動詞の3人称単数形〜(誰が〜したいんだよ)」っていう英語でよく見かける使い回しです。

そして体質に関して、肌の弱さを補足的に説明させるためにskinで代用しました。
sensitiveの代わりにvulnerable「弱い、傷つきやすい、(悪い影響が)受けやすい」を使っても良いかと思われます。

2文目の文尾に「, you know?」を付けましたが、「分かる？」という意味です。
「蕁麻疹になりたいわけじゃなくて肌が弱いせいなの！分かる？」と最後に相手に念押しするニュアンスを込めました。

蕁麻疹＝hives, nettle rash, urticaria, wheals

口語でよく使われるのは、hivesかと思います。
蕁麻疹だけでなく湿疹全般をrashと言い、これも非常によく使われる言葉です。
蕁麻疹の話では、I have rashes because I'm allergic to XX. （XXのアレルギーで蕁麻疹が出る）という風に言うこともあるので、合わせて知っておくと便利です。