回答
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Don't touch my arms or shoulders. It makes me (want to) itch.
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Don't touch my arms or shoulders. It makes me feel itchy.
「〜を触らないで」は、Don't touch ~ なので簡単ですね。
「かゆくなる」は、もしかしたら、デリケートな思春期の子供の感覚による心的なことなのかもしれませんが、くわしいことがわからないので、ここではそのまま「かゆい」状態を表すことにします。一般的に「かゆい」と表現するには、動詞の itch や形容詞の ichty を使います。
It makes me (want to) itch. も It makes me feel itchy. も「(さわられることで)かゆくなる」というニュアンスになります。