赤ちゃん用おしめと大人用おむつをドラッグストアで買って来てください。って英語でなんて言うの？

1枚でなくまとめて買うかなと思うので、some diapersという言い方にしています。
例えばそれぞれ一箱ずつであれば、one box eachのように説明するといいと思います。
二つ目のdiapersはonesに置き換えてもいいですが、会話では置き換えなくても自然です。

まず、「～を買いに行く」というのはgo to buy ～　で表すことができます。

そして口語では、このto は省略することもできますので、2番目の文のように go buy と言うこともできます。

Could you ～　のほうが丁寧な表現、Can you の方がよりカジュアルなお願いの仕方となるため、1つ目の文のほうが丁寧になります。

また、「おむつ」はdiaper, またはイギリス英語ではnappy と言います。

赤ちゃん用おむつと、大人用おむつ　でおむつが2回出てくるため、2回目は同じ種類のものを示すoneで代用ができます。

3つめの文は「both A and B」でAとBの両方、と「両方」であることを示す文になります。

以上、よろしくお願いいたします。