回答
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Can you go get some baby diapers and adult diapers at the drugstore, please?
1枚でなくまとめて買うかなと思うので、some diapersという言い方にしています。
例えばそれぞれ一箱ずつであれば、one box eachのように説明するといいと思います。
二つ目のdiapersはonesに置き換えてもいいですが、会話では置き換えなくても自然です。
回答
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Could you go to buy babies' diapers and adults' ones at the drugstore?
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Can you go buy babies' diapers and adults' ones at the drugstore?
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Can you go buy both babies' diapers and adults' ones at the drugstore?
まず、「~を買いに行く」というのはgo to buy ~ で表すことができます。
そして口語では、このto は省略することもできますので、2番目の文のように go buy と言うこともできます。
Could you ~ のほうが丁寧な表現、Can you の方がよりカジュアルなお願いの仕方となるため、1つ目の文のほうが丁寧になります。
また、「おむつ」はdiaper, またはイギリス英語ではnappy と言います。
赤ちゃん用おむつと、大人用おむつ でおむつが2回出てくるため、2回目は同じ種類のものを示すoneで代用ができます。
3つめの文は「both A and B」でAとBの両方、と「両方」であることを示す文になります。
以上、よろしくお願いいたします。