説明すると長くなるんですが、つまり財布を家に忘れてきたって英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができますよ。

ーIt's a long story, but basically I forgot my wallet at home and I don't have money to pay for the extra fare.
「話せば長くなるけど、つまり家に財布を忘れて、乗越料金を払うお金がないんです」
it's a long story で「話せば長くなる」
basically で「要するに・つまり」

ーTo make a long story short, I left my wallet at home so I can't pay the extra charge for the train.
「手っ取り早く言うと、家に財布を忘れてきて、電車の乗越料金を払えないんです」
to make a long story short で「手っ取り早く言うと・かいつまんで話せば」

ご参考まで！

ご質問ありがとうございます。

"If I explain to you how it all happened,"＝「もしあなたに、どのようなことが起きたかを全て説明するとしたら、」

"it would get long and complicated,"＝「それは長くなって複雑にもなります、」

"but basically,"＝「でも、要するに」

"I forgot my wallet at home,"＝「私は家に財布を忘れてしまいました、」

"so I can't pay this extra fare."＝「なので、この乗り越し料金が払えません。」

ご参考までに。