それで私はちょっと泣いてしまったって英語でなんて言うの？

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
That made me tear up a little bit.

『関係詞節を使ってなんていうんですか？』ついては、例えば、
It was the movie that made me cry a little bit.
直訳すると『その映画が私を少し泣かせた。』となりますが、『それで私がちょっと泣いてしまった』というようなニュアンスは伝えられると思います！

参考になれば幸いです。