私は、◯ヶ月記念日☆みたいなのはやらない派って英語でなんて言うの？

Monthiversary; 月記念日
ですが、これを
Monthly anniversary; という人も多いようですので、もしMonthiversaryで通じなければmonthly anniversaryと伝えてみましょう。

※anniversaryの中には既に周年記念という意味があるので、これに1ヶ月ごと(monthly)をつけると、毎月の周年記念日となってしまう。

付き合っている相手に対することを言うので、when I'm going out with someone を添えるとよりわかりやすいです。

英訳1：「〜しない派」は「〜しないタイプ」と言うことができます。I'm not the type to ~ で「私は〜しない派です」となります。
every little を添えることで「いちいち」というニュアンスが伝わります。every little monthly anniversary と言えば、 「◯ヶ月記念日みたいな細いこと」となりますね。

英訳2：1の I'm not the type to ~ を、I'm not the kind of person who ~ と言い換えることもできます。直訳は「〜する種類の人間ではない」です。