〜のお手間をとらせてしまい申し訳ございませんって英語でなんて言うの？

"apologize for the inconvenience"は色々なシーンで使える便利な表現です。謝意を表す表現も書きましたので、併せてご参考にしてください。

なお、気楽な間柄であれば、"Thank you for your time.（手間かけてごめんね。）"くらいの表現が良いでしょう。"Sorry"とまで言ってしまうと余りにも大げさすぎて相手がびっくりしてしまいます。日本語では謝罪で表現しても、英語では感謝でそれを表現することがよくあります。

in advanceは「前もって」という意味です。
親切なご協力に前もって感謝します、というのが直訳ですが、これからお願いすることに対してご協力ありがとうございます、と言いたいときに使う決まり文句です。

他の方も書いておられるように、日本語ではよく使う「大変申し訳ありません」という表現は、英語ではほとんど言いません。
謝罪ではなく、感謝の文化とでも言いましょうか。
「～していただきありがとうございます」という言い方が一般的です。

お待たせしてすいません、という時も「Thank you for waiting」となります。

I/We apologize for the inconvenience.
ご迷惑（お手数）をおかけしてしまい申し訳ございません。

上記のように英語で表現することもできます。
inconvenience は「迷惑」という意味の英語表現です。

お役に立てればうれしいです。
またいつでもご質問ください。