hireとemployの二つが、すぐ辞書で調べると出てくると思うのですが、二つには少し意味の違いがあります。
hire (短い期間で)雇う
employ (長期的な意味を含めて)雇う
なので、なんでもいいから、とにかく今、働きたいという短期でもなんでもいいからという気持ちを込めて言うなら、
Please hire me at this company.
でもよいかと思います。
逆に、employを使う場合は、長期雇用を目的として使うこともできるので、正社員や長く雇用してほしいという気持ちを込めて言うなら、
Could you employ me?
で大丈夫だと思います。
ご参考になれば幸いです。