手汗がやばいって英語でなんて言うの？

「手」の英語はわかっても、「手のひら」は言えない人も多いかもしれません。
「手のひら」は、palmと言います。

「汗をかいている」は、sweaty または be sweatingでOKです。

英訳２のlike crazyは、「ものすごく」と手汗のひどさを強調する言い回し。

このような場合の「やばい」はlike crazy（まともでない、異常な）がニュアンスとして通じやすいかと思います。

「手汗」という表現が難しいので、sweat like crazy（手に汗をやばいほどかいた）と訳しました。

My hands were sweating like crazy when I performed for the dance recital.
ダンスの発表会の時に手汗がやばかった。