「蒸れる」を訳そうとすると、steam や sweat などが浮かぶかもしれませんが、時計ベルトをつけていて蒸れるのは肌なので、英語には多少工夫が必要です。
英訳1:「かぶれる」は get a rash としました。rash は汗でできる湿疹で、「あせも」は heat rash とも言います。
英訳2:be humid out で「湿気が多い(気候だ)」。Won't this irritate me? で「これ(をつけること)が私をイラッとさせない?」といったニュアンスになります。
英訳3:湿気の影響で肌も汗ばんでしまうだろうから、Won't my wrist get swollenget swollen?「腕が腫れたりしない?」