He/She is a spoiled child who asks to buy this and that (all the time.)
He/She is so childish. He/She asks to buy everything he/she wants.
「わがまま」は文字通り考えると、自分中心という意味の"selfish"という言葉なのですが、子どもが、あれもこれも買ってというという場合には、「あまやかされている」spoiled とか、「こどもっぽい」childish というニュアンスのほうが、おっしゃっている意味に近いような気がするので、以下の二つを書いてみました。
She/He は性別によって選んでください。
He/She is a spoiled child who asks to buy this and this (all the time.)
彼/彼女は、(いつも)これやあれを買ってと頼むわがままな子(甘やかされている子)である。
He/She is so childish. He/She ask to buy everything he/she wants.
彼/彼女は、とてもわがままだ(子どもっぽい)。欲しいものを全部買ってと頼む。