He/She is a spoiled child who asks to buy this and that (all the time.)
He/She is so childish. He/She asks to buy everything he/she wants.
「わがまま」は文字通り考えると、自分中心という意味の"selfish"という言葉なのですが、子どもが、あれもこれも買ってというという場合には、「あまやかされている」spoiled とか、「こどもっぽい」childish というニュアンスのほうが、おっしゃっている意味に近いような気がするので、以下の二つを書いてみました。
She/He は性別によって選んでください。
He/She is a spoiled child who asks to buy this and this (all the time.)
彼/彼女は、（いつも）これやあれを買ってと頼むわがままな子（甘やかされている子）である。
He/She is so childish. He/She ask to buy everything he/she wants.
彼/彼女は、とてもわがままだ（子どもっぽい）。欲しいものを全部買ってと頼む。
a kid who is always asking his parents to buy him this and that
a kid who has a bad case of the gimmies
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーa kid who is always asking his parents to buy him this and that
「親にいつもあれやこれを買えとせがむ子供」
ーa kid who has a bad case of the gimmies
「物を欲しがって駄々をこねる子供」
gimmies は give me「私にちょうだい」を短くしたスラングで、あれ買ってこれ買ってと駄々をこねることを have a bad case of the gimmies と言ったりします。
ご参考まで！
日本 
カナダ 
