おそらく、「顧客」は customer、「担当」は？というご質問かもしれませんが、
「担当顧客」であれば client 一語で済みます。
それは、
customer は顧客全般（someone who buys goods or services from a shop or company）を表す
ので、たまたま訪れた一見客も含まれるのに対し、
clients は customer より関係の強い「お得意様」（someone who pays for a service from a professional person or company）
という意味だからです。
なお蛇足ですが、「”担当”はhandlingであったり」でも「担当顧客」が出てこなかったのは、
ここでの「担当顧客」での顧客は「担当される」側
ですが、handlingは「自分が担当する」側で使う（handling 〜 で『〜を担当する』）のでつながらなかったためだと思います。
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