(僕のことは)気にしないでって英語でなんて言うの？

Please don't bother.で「気にしないでください」「おかまいなく」という意味です。

目的語を伴ってPlease don't bother me.と言ってしまうと、「邪魔しないで」「ほっといて」の意味になってしまうので、似ていますが気を付けるとよいでしょう。

"care about 〜" で「〜を気に掛ける、思いやる」ということを表現します。
"that much" は「そんなに、それほど」という意味で、"not 〜 that much"(それほど〜ではない、〜しない) の形で使われることも多いです。

have no need to 〜 = don't need to 〜 となります。

"be nice to 人" は「人に対して親切である、優しい」ということを表します。"be kind to" としても、同じ意味になります。

"like that" は「そんなふうに、そんなに」という意味です。

いずれにせよ、親切にしてもらうのはありがたいことなので、"Thank you for your kindness."(ご親切にありがとうございます) と、まず感謝を伝えてから上記の文を続けると良いでしょう。

Don't worry about me.
私のことは気にしないでください。

don't worry で「気にしないで」を英語で表現することができます。

例：
Oh, don't worry, I'm fine.
あ、気にしないでください、私は大丈夫です。

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