是非、やりましょうって英語でなんて言うの？

「良い」返事、つまり「ノリノリ」、聞いてくれた相手への感謝の気持ちを込めて、又は「ぜひぜひ」というニュアンスで言うならシンプルの「Let's!!」がまず一つの方法ですね。
この単語は 「Let us」の省略で直訳すると、「私たちに／が〇〇〇させる」という意味で、実際の意訳は単体で使うと「そうしましょう！」とか、「うん！」、またはまさに「ぜひぜひ」という意味で使われます。

従って、「ぜひ！やりましょう！」というのを直訳に近い形で訳すと、「Let's do it!!」や、最初に「yes!」を付けてから言うのもまた自然な表現となりますね。

英訳例は３個まで挙げられるのでついでに、「Yes, I love to!!」と言う方法もまたありますね。これは直訳すると「はい、それすごくいいです！！」というニュアンスの意訳。結果的には大賛成という同じ意味の表現としてこちらもまた同じように使えると思いますよ～！！

がんばってくださいね～！！

　こちらも会話でよく聞く表現です！

★ 訳
「もちろん。やりましょう！」「ぜひやりましょう！」

★ 解説
　Why not? だけでも賛成の意を表すことができますが、sure「もちろん」を付けて言うことが非常によくあります。この3語をセットで覚えておけばOKです！

　Why not? を直訳すると「どうしてダメ？」ということです。相手が言ったことについて、「ダメな理由が見つからない」という意味合いですね。

　また、「何かに誘われたとき」とのことですが、誘い方もいろいろだと思います。

　Do you want to eat out tonight?「今夜外食にしたい？」
　Sure, why not?「いいね！行こう！」

　のような感じで、「〜したい？」のような誘い方でも使うことができますよ。

　以上、ご参考になりましたでしょうか。

よっしゃ、よしやろう！

それと、Let's go for it. もいけます。
円陣組んで、やってやろうぜ！みんなで頑張ろう！でも使えます。