総務あてにVISAに必要な書類を申請しましたって英語でなんて言うの？

I applied for the documents required in the visa process at the general affairs department.
総務課でVISAに必要な書類を申請しました。

申請する→apply for
必要な→required
総務課→general affairs department

このような感じでお伝えしてもいいですね♪
Just for your information, I applied for the documents required in the visa process at the general affairs department so you don't need to worry about it.
ちなみに、総務課でVISAに必要な書類を申請したので、心配しなくて大丈夫ですよ。

少し言い換えにしましたが、このようにも言うことができます：
I made a request for the necessary documents for my visa application to the general affairs section.
「総務（課）あてにVISA（の申請に）に必要な書類を要請しました」

make a request (to～) = （～あてに）要請する
necessary = 必要な
application = 申請
general affairs section = 総務課
（会社によって「課」はdepartmentとして使う場合もあります）

「安心してね」のニュアンスは、完了形を使うと出せるのではないかと思います。
「総務部」は"general administration department"です。

例文のように、名詞を形容詞で後置修飾すると、それらしく聞こえますし、また英語が書きやすくなりますから、是非参考にしてください。

書類が本人に直接届く場合は、"me"を"you"にしてください。