何かと戦う、何かと敵対すると言うときに使うのはagainst です。Turn against には、反旗を翻すと言うようなニュアンスがあります。
もっとストレートに「世界と戦う」fight against th world と言ってもいいでしょう。Can は簡単な言葉のようですが、自分には可能だ、その能力があるということを表せる単語です
世界の敵world's enemy を使いたければ、become を使って「なる」と言う表現にしてみてもいいでしょう。もう少し、シチュエーションがわかると、もっと多様な表現が出来ますよ。