実力をつけるって英語でなんて言うの？

「実力をつける」というとやはり能力を高めるということになるので、

　develop one's ability

が妥当だと思います。「実力」だけなら real ability としてもいいですが、develop と一緒に使うなら特になくてもいいでしょう。

なお、「実力で昇進する」のような場合には、能力というよりも実績が重視されるので、

　on one's own merits

と、merits（「功績」のような意味）を使う方がいいです。

Developの代わりに、hone（磨く・研ぐ）という動詞を使うと、実力をつける＝スキル・能力を磨くというニュアンスの表現になります。
例えば、
Through my work at X, I honed by ability to think critically.
(Xでの仕事を通して、批判的思考力を磨いた）等、
英語のカバーレターにもよく使われる表現です。

「個人の実力をつけることが大切だ」と言いたい場合は、
It's important for you/individuals to hone your/their skills. という訳でOKです。

「個人」は「individual」
「実力を付ける」はスキルや能力を伸ばす事という意味なので英語で表現したい場合は、
「Develop (開発する、伸ばす) / Improve (向上する)」を使って
Develop / Improve an individual's skill / ability

おっしゃられている内容は以下のようにも表現できると思いました(^_^)
learn various skills
「様々な技術を習う、習得する」
improve oneself
「自分自身を改善する」＊「自分を磨く」の訳語としても使われることがあります。
acquire a lot of knowledge
「たくさんの知識を身につける」

英語では「実力をつける」の直訳はできないので、それぞれの文脈に応じて、
実力とはどういうことか？と具体的に考えて英語で表現すれば良いと思います(^_^)

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)

★★大阪カフェレッスン英会話講師KOGACHI