（申し訳ございません。）失念しておりました。って英語でなんて言うの？

I'm sorry. I forgot about it.
ごめんなさい。忘れてました
↑この言い方ですとあまりにぶしつけですので、よほど親しい相手にしか言いづらいです。

I apologize. It must have slipped my mind.
申し訳ありません。失念していました。
↑apologize は「謝る」という意味で、sorry より丁寧な表現です。
slipped my mindは記憶からするっと抜け落ちるというニュアンスでつまり忘れていたということです。
ついうっかり失念してしまったという場面でいちばん使いやすい失礼のない言い方だと思います。ぜひ使ってみてください。

「失念する」は日本語の敬語表現なので、これに直接相当する英語はないと思います。

そこで「忘れる（forget）」を使ってていねいに言うには、

　I'm terribly sorry.（大変申し訳ございません）

などと先に言うといいでしょう。

ただ、自分に関わることを forget と言われると誰でもいい気持ちはしないので、私のおすすめは

　I made a mistake.

と、直接「忘れた」を言わずに婉曲に言う方法です。

もちろんこの場合も I'm sorry. という謝罪は忘れずに。

I sincerely apologize. I had completely forgotten about it.
誠に申し訳ございません。完全に失念しておりました。

上記のように英語で表現することもできます。
apologize は sorry よりもフォーマルな印象の英語表現です。

お役に立てればうれしいです。
またいつでもご質問ください。