a Buddhist monk(お坊さん)でいいと思います。
厳密には、monkはキリスト教でいう「僧、修道士」のことですが、Buddhist(仏教の)をつけてお寺の「お坊さん、僧侶」の意味で通じます。
私は知りませんが、仮に仏教学などでいう専門用語(「僧侶」の意味)があったとしても、おそらく聞いた人に通じないと思います。
「親戚」は relative なので、
I have a relative who 〜(〜である親戚がいる)
One of my relatives is 〜(親戚の1人は〜である)
の形をとりました。