〇〇する気持ちがそもそもない　って英語でなんて言うの？

「そもそも」は文脈によって訳し方が違いますが、in the first place や to begin with が最もよく使われます。また、「Xする気」という意味の「気持ち」は desire か intention になります。「概ね態度がこうだ」と主張する時は前者を使い、あるエピソードの彼の気持ちを説明する時は後者を使います。 ご参考までに。