大変申し訳ございませんって英語でなんて言うの？

I am terribly sorry. は 「本当に申し訳ないです」という意味です。

I’m sorryや I apologize よりずっと強い意味です。
terribly が「本当に」というニュアンスになっています。

ミスした場合は
“ I am terribly sorry. I won’t let this happen again”
( 本当に申し訳なかったです。もう二度とこのようなことが起きないようにします)。

〜と言えるでしょう。

「大変申し訳ございません）を英語にしたら、"I sincerely apologize" と言います。
I apologize は「申し訳がありません」を指します。sincerely の場合、「本当に」を表す。
ビジネスのシチュエーションで謝るとき、こういうフレーズを使えます。

Mihoさん、こんばんは。

「大変申し訳ございません」 はビジネスシーンで最も丁寧な形は〜

Please accept my/our sincerest apologies.
又は
Please accept my/our humblest apologies.
になります。

個人の使用の場合には　"I'm so sorry" のもっとカジュアルな言い方もあります。

ご参考になれば幸いです。

ご質問ありがとうございます。

この場合は 大変申し訳ございません は英語で I'm very sorry と訳します。

言い方で皮肉的に聞こえる可能性もありますから、できれば、簡単に行った方が相手に良いだと思います。

例えば

それに対しミスをしてしまって大変申し訳ありません。
I am so sorry we made a mistake concerning that.

ご参考になれば幸いです。

申し訳ありません：I'm sorry
大変：very, extremely, sincerely

My sincerest apologiesはちょっと特別な言い方です。本当の表現はYou have my sincerest apologiesです。その文では、動詞はhaveになりますね。ですから、apologiesは名詞でsincerestは形容詞になります。というのは「You have my sincerest apologies」は「私はあなたにの一番熱心の謝罪をあげます。」という変な日本語になってしまいます。

ご参考にしていただければ幸いです。

大変申し訳ございません sorry

私はあなたのお茶セットを誤って壊しました。
大変申し訳ございません。 交換します。
I broke your tea set by accident. I'm very sorry.
I will replace it for you.

私が何をしたかを言うのは私にはばかでした。
大変申し訳ございません。
It was stupid of me to say what I did. I'm so sorry.

私は仕事でひどい間違いをします。 大変申し訳ございません。
I make a very bad mistake at work. I'm very sorry.

こんにちは。
さまざまな言い方ができると思いますが、下記のような英語表現はいかがでしょうか：

I sincerely apologize for the mistake.
ミスをしてしまい、大変申し訳ございません。

Please accept our sincerest apologies.
大変申し訳ございません。

apologize は sorry よりも丁寧な印象の英語表現です。

ぜひ参考にしてください。