I am terribly sorry. は 「本当に[申し訳ないです](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/48054/)」という意味です。
I’m sorryや I apologize よりずっと強い意味です。
terribly が「[本当に](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36491/)」というニュアンスになっています。
ミスした場合は
“ I am terribly sorry. I won’t let this happen again”
( 本当に申し訳なかったです。もう二度とこのようなことが起きないようにします)。
〜と言えるでしょう。
ご質問ありがとうございます。
この場合は 大変申し訳ございません は英語で I'm very sorry と訳します。
言い方で皮肉的に聞こえる可能性もありますから、できれば、簡単に行った方が相手に良いだと思います。
例えば
それに対しミスをしてしまって大変申し訳ありません。
I am so sorry we made a mistake concerning that.
ご参考になれば幸いです。
申し訳ありません:I'm sorry
大変:very, extremely, sincerely
My sincerest apologiesはちょっと特別な言い方です。本当の表現はYou have my sincerest apologiesです。その文では、動詞はhaveになりますね。ですから、apologiesは名詞でsincerestは形容詞になります。というのは「You have my sincerest apologies」は「私はあなたにの一番熱心の謝罪をあげます。」という変な日本語になってしまいます。
ご参考にしていただければ幸いです。
I broke your tea set by accident. I'm very sorry. I will replace it for you.
It was stupid of me to say what I did. I'm sorry.
I make a very bad mistake at work. I'm very sorry.
大変申し訳ございません sorry
私はあなたのお茶セットを誤って壊しました。
大変申し訳ございません。 交換します。
I broke your tea set by accident. I'm very sorry.
I will replace it for you.
私が何をしたかを言うのは私にはばかでした。
大変申し訳ございません。
It was stupid of me to say what I did. I'm so sorry.
私は仕事でひどい間違いをします。 大変申し訳ございません。
I make a very bad mistake at work. I'm very sorry.