I'm so happy my family will be complete when the baby is born!
Well, it is a totally new phase in your life and probably it is not necessary to actually state that it is a new phase as that is obvious in the context of the statement. What you could mention is some aspect of this new phase which you are looking forward to: 'motherhood', 'being a mum' or having a 'complete family'.
出産は新たな段階であるのは明らかなのであえてそこことにふれなくてもいいでしょう。母親になることを楽しみにしているといった表現を使うといいでしょう。
子どもが生まれて生活が大きく変わるのは当たり前のことなので、あえてそれについて言う必要はないでしょう。
代わりに、新しい生活の何が楽しみなのかを伝えてはどうでしょう。「母になること（motherhood／being a mum）」だったり「家族が全員そろうこと（complete family）」。
I am excited to start this chapter of my life with my family!
Congratulations!
"I'm looking forward to our new life together!" is saying that you can't wait for the joys of motherhood with your new baby. This is a big life change that you are about to do with a new being.
"I am excited to start this chapter of my life with my family!" Is the same thing as above. This is a new part of your life that you will be doing with your baby as well as your family.
おめでとうございます。"I'm looking forward to our new life together!" （一緒に新しい生活を送ることを楽しみにしています）は、生まれてくる赤ちゃんと共に母になる喜びを待ちきれないと言っています。
"I am excited to start this chapter of my life with my family!" （家族と人生の新しい章を始めることにワクワクしています）は、上と同じことを言っています。家族と赤ちゃんと共に人生の新たな局面を迎えるということです。
I'm looking forward to my new position as Mom/Dad.
"I am excited to begin my life as a parent."
When a child is born your life changes. You will have more responsibilities and cares. Saying "I am excited" means you are happy about this change in your life. "Begin my life as a parent" you were single or just a husband or wife and know you will be a parent.
Parent - Mom or Dad of a child.
You could also say.....
"I'm looking forward to my new position as Mom/Dad."
"I am excited to begin my life as a parent."（親としての人生が始まることがとても楽しみです）
子どもが生まれると、人生が変わりますね。責任やお世話をすることが増えます。"excited"と言うことで、人生が変わることに対して幸せを感じていることが伝わります。"Begin my life as a parent"は、今まで自分ひとりや、パートナーとの人生だったのが、親として新たな人生がスタートする、ということです。
Parent - 子供の母親や父親
"I'm looking forward to my new position as Mom/Dad."（母親/父親という立場になることが楽しみです。）
These sentences all have the same meaning, but are getting more and more specific. "I'm looking forward to our new life" is the most vague, as a number of completely different things could be happening for you to say this sentence. "I'm looking forward to our new family life." is less vague, but it still could be insinuating marriage, another relative having a baby or getting married, or you are having a baby. "I'm looking forward to motherhood.", this sentence is the most specific and can only be said when having a baby.
これらの文は全て同じ意味ですが、徐々に具体的になっています。
"I'm looking forward to our new life"（新しい生活を楽しみにしています）
- これは最も曖昧な言い方です、この文はさまざまな状況で使うことができます。
"I'm looking forward to our new family life."（新しい家族生活を楽しみにしています）
- これの方が具体的ですが、それでも「結婚する」「親戚に子どもができる」「親戚が結婚する」「自分に子どもができる」などの解釈も可能です。
"I'm looking forward to motherhood."（母親になるのを楽しみにしています）
- この文が最も明確です。これは、子どもができるときにしか使えません。
I'm thrilled about the new chapter I'll be starting in our life!
I'm look forward to starting this new chapter in our life!
I'm excited about the changes that are occurring in our life!
For native speakers, it is common to use 'new chapter' or 'a new page' when referring to changes or new events that are happening in one's life. This is because we are comparing to life as a book. When you are finished with one part of your life, it is as if you are turning the page to start a new chapter, which brings many changes.
Also, if you are talking to anyone in your family who will be directly affected by the new baby, then you can use 'our life' because you are referring to the one life of your family as a whole.
ネイティブスピーカーは人生で起こる新たな出来事や変化について表すときによく 'new chapter' や 'a new page' という表現を使います。これは人生を本に例えています。人生において一つの区切りを迎えることは、本のページをめくり新しい章に入ることに似ています。新しい章に入ると、たくさんの変化が起きますからね。
また、赤ちゃんの誕生に直接関係する人に対して話すなら、'our life'（私たちの人生）が使えます。家族としての一つの人生について言っているからです。
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