こちらこそごめんなさいって英語でなんて言うの？

I’m sorry too は「私もごめんね」という意味なので
「こちらこそごめんなさい」と言いたい時に使えます。

また I owe you an apology too は「わたしもあなたに謝らないと」という意味なので、こちらも使えます。

他には：
I should be the one apologizing.
謝るべきなのは私の方です。

I apologize は sorry よりも少し丁寧な印象があります。

I'm sorry の I'm の部分を強調して、"I'M sorry" と言うと「わたしこそごめんなさい」というニュアンスになります。

No, I'M sorry. I was only thinking about myself.
いいえ、わたしこそごめんなさい。自分のことしか考えていなかったの。

No, I’M sorry. Let's forget about all this.
いいえ、わたしこそごめんなさい。このことはもう忘れましょう。

参考になれば幸いです。

ご質問どうもありがとうございます。
様々な表現があると思いますが、いくつか自然な表現を紹介します。

• The fault is all mine. （いえいえ、こちらのほうが悪かったんです）
• It's me who should be apologizing. （お誤りすべきほうは、私のはずです）
• It's us who should be apologizing. （お誤りすべきほうは、私たちのはずです）

お好みに合わせて使い分けてみてください！
ご参考にしていただければ幸いです。