お部屋の備品の補充って英語でなんて言うの？

全文の訳は他のアンカーの方が書いてくださってますので、
私は単語だけ紹介します(#^.^#)

「補充する」という意味で何か一つ覚えるとしたら、私はとりあえずrestockをお勧めします。
例）
We restock copy paper regularly.
「定期的にコピー用紙を補充してます」

単に「部屋の備品の補充」だけであれば、「restock the hotel room amenities」が直訳ですが、質問は、あなたは旅館の方で、夕食時にスタッフが部屋に入ることは欧米ではないので、説明しておきたいということでしょうか？

Allow us to enter your room to prepare your bed during dinnertime.
We also replace the used cups and refill the water at the same time.
【訳】夕食の間にあなたの部屋に入り、ベッド（この場合は単に寝る場所の意味）の準備をすることをお許しください。それと同時に、使用済みのカップを交換し、水の補充もいたします。

Allow me to ~ で「私が〜することをお許しください」
「〜してもよろしいですか？」のかしこまった言い方です。
Allow me to introduce myself.（ぜひ自己紹介させてください）と言うフレーズは、特にビジネスの場でなくても使ったりします。

I’d like to remind you (that) in Ryokan, we prepare your Futon while you are having dinner. We also change cups and refill the water.
【訳】申し上げておきますが、「旅館」ではあなたが夕食をとっている間に我々が「布団」を準備します。コップを変え、水も補充します。

I would like to remind you 〜 、I must remind you 〜　という言い回しで、「申し上げておきますが〜」という丁寧な前置きになります。RyokanはJapanese style inn と置き換えてもいいと思いますが、海外でも最近知られてきています。Futonはかなり知名度が高いと思いますので、そのまま使っても問題ないと思います。

一番目の言い方の「tending」は名詞と動詞もとして使えます。

この場合「お部屋にお邪魔する」は直接できません。「Enter your room」になります。

お知らせはこのように書く可能性があります:
During dinner, we will tend to your room.
We will enter your room in order to do the housekeeping.

Housekeeping には、いろいろなことを掃除して何かの補充をするのような意味があります。