A lyrical movement that sang hope gave peace of mind to those who listened.
『聴く者に安らぎを与えました』の表現は、上記の他に、『gave peace of mind to the listener』でもいいかと思います。『listener』は『聴衆』『聞き手』をあらわす名詞で、昔よくラジオで、DJが『リスナーの皆さん』とか言ってました。
上記の文の『those who』は関係代名詞の主格に『人々』が使われるときの特徴のある使い方で、『people』に置き換えると文の意味が分かると思います。つまり、関係代名詞の主格に『people』が来るときには、『those who』に置き換えるわけです。