お任せします。って英語でなんて言うの？

I'll leave it up to you.
あなたにお任せします

leaveは「離れる」という意味以外に
「～に任せる」という意味があります。

leave it up to you以外に
I'll leave it up to you to decide.
という言い方も出来ます。

You can decide.は
「あなたが決めることが出来ます」
↓
「あなたにお任せします」
という意味になります。

参考になれば幸いです。

★ 訳
直訳「私のために決めてください」
意訳「代わりに決めてくれませんか」

★ 解説
　このような表現もOKです。
　前置詞の for は「〜ために」が基本的な意味ですが、転じて「〜の代わりに」という意味で言うこともあります。

　Can you take this back to the library for me?
　「私の代わりにこれを図書館に返しに行ってくれる？」

　ご参考になりましたでしょうか。

「あなたにお任せしてもいいですか？」は、

"Do you mind if I leave it to you?"

"Would you mind if I left it to you?"

"would you mind ~?"の方がより丁寧ですが、"do you mind ~?"でも特に失礼ではありません。"would you mind ~?"は仮定法なので、"leave"ではなく、過去形の"left"を使います。

ご参考になれば幸いです。