masakazuさん
ご質問どうもありがとうございます。
様々な表現があると思いますが、いくつか自然な表現を紹介します。
1. (cash) register
レジマシーンそのものを表現したいときは、「register」または「cash register」が自然と思います。
例: John stole money from the register at work.
Johnは[職場](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/27018/)のレジからお金を盗んだ。
2a. checkout counter
2b. checkout area
2c. checkout
レジのところまたはレジのエリアに言及したいときは、
「checkout」といいます。2aのcheckout counterも2bのcheckout areaはよく類義語として使われています。
例: She works at the checkout counter at Walmart.
彼女は、Walmartでキャッシャーをやっています。
P.S. キャッシャーという言葉はそもそも英語に由来するので、英語でも「cashier 」といいます。
3. 仰ってのとおり、最近は[セルフレジ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/39052/)のところも増えていますね。
英語なら、Self-checkoutといいます。
例 Can you show me how to use the self‐checkout, please?
セルフレジの正しい使い方を教えてもらいませんか。
The self-checkout is over there.
セルフレジはあちらです。
ご参考にしていただければ幸いです。