羽子板でミスをすると顔に墨でかかれるって英語でなんて言うの？

実際には羽子板はラケット（？）で、ゲームは羽根つきなので、ちょっと変えました。
意味は大体同じですが、表現が少し異なる2通りを書きました。後はお好みかなと思います。

When you play with Hagoita, the player who drop the shuttlecock get marked on the face with India ink.
【訳】羽子板で遊ぶときは、シャトルを落とした方のプレイヤーが顔に墨でマークを書かれます。

In Hanetsuki, the player who made a mistake has to be marked on the face with Chinese ink.
【訳】羽根つきでは、ミスをした方のプレイヤーが顔に墨でマークされなければいけません。

墨はIndia ink や Chinese inkとして知られています。

make a mistake ＝ミスをする、失敗する

参考になれば。